Mathematik-Rätsel

[Wuo Long]

Hier ein kleines Rätsel für alle, die mit Mathe nicht allzu sehr auf dem Kriegsfuß stehen.

Man zeige, dass die Summe aus 21³⁹ + 39²¹  eine Zahl ergibt, die durch 45 teilbar ist.

Gewünscht ist ein mathematischer Beweis. Diese Aufgabe lässt sich durch pure Logik (Anwendung mathematischer Gesetze) lösen. Kein Querdenken oder ähnliches.

Taschenrechner ist nicht erlaubt und zählt nicht als Beweis. Meines Wissens überschreitet diese Aufgabe bei Handtaschenrechnern eh ihren einprogrammierten Rechenspeicher. 

[Maran]

Bevor dieser thread untergeht ... bääääh ... Exponenten ... *grummel* ... wie war das denn nur? ... Sowohl die Exponenten als auch die Basen bestehen aus natürlichen/ganzen Zahlen, richtig? Oder? Oder?

[Maran]

21^39 + 39^21 = x/45

Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können addiert oder subtrahiert werden. Die Frage ist nur, WIE bekomme ich die Basen und/oder die Exponenten auf den gleichen Wert? Menno ... ist sooooooooooo lange her.

[Schreiberling]

Bei mir ist es gar nicht lange her, aber weyyyy, macht die Sache trotzdem nicht besser.

[Wuo Long]

Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können addiert oder subtrahiert werden. Die Frage ist nur, WIE bekomme ich die Basen und/oder die Exponenten auf den gleichen Wert? Menno ... ist sooooooooooo lange her.

Potenzen werden miteinander multipliziert oder dividiert, indem die Exponenten addiert oder subtrahiert werden, vorrausgesetzt, die Basis ist gleich.

Dein Gedanke geht allerdings in die falsche Richtung. Du sollst bei diesem Rätsel nichts gleich bringen. Es handelt sich hier schließlich nicht um Bruchrechnung.

Auch ganze Zahlen sind unnötig. Alles lässt sich im Bereich der natürlichen Zahlen abwickeln.

[Chuck]

Ich habe da jetzt einen Ansatz. Allerdings muss ich gestehen, dass ich nochmal ein wenig im Internet meine Kenntnisse über Exponenten und Basen aufgefrischt habe, also wie was multipliziert wird, um wieder kurz in die Materie zu kommen. Allerdings glaube ich, dass man das hier gar nicht braucht. Die abschließende Lösung steht unter Punkt II.

I. Mein Weg
Ich weiß, dass eine Zahl durch 45 teilbar ist, wenn sie sowohl durch 5 als auch 9 teilbar ist. Nehmen wir hier die 90, die durch 9 und 5 teilbar ist, dann auch durch 45.

Also habe ich geschaut, ob die beiden Summanden durch 9 und 5 teilbar sind.

Zuerst 21^39 --> Hier steht fest, dass beim Ergebnis am Ende in jedem Fall eine 1 am Ende stehen wird. Unabhängig vom Exponenten. Die Einerstelle in der Basis ist ja 1 und mit 1 multipliziert kommt immer 1 bei raus.

Jetzt 39^21 --> Hier entsteht eine Regel (ich kenne den Begriff nicht), die sich erschließt, dass bei der Multiplikation von 9 jedes zweite Mal einmal eine 1 und dann wieder eine 9 am Ende stehen wird. (9 x 9 = 81 --> 81 x 9 = 729 --> 729 x 9 = 6561 etc.) Bei einem ungeraden Exponenten steht am Ende der Multiplikation also eine 9.


Rechne ich jetzt beide Summanden zusammen, wird die letzte Zahl in jedem Fall eine 0 sein (9+1) und ist somit durch 5 teilbar.

Soweit so gut. Jetzt wollte ich es durch 9 teilen, was so einfach aber nicht geht, wie mir scheint. Zumindest nicht die Summe. Also wieder zum Anfang:

21^39 --> Ist die Quersumme einer Zahl = 9, dann ist die Zahl auch durch 9 teilbar. Ich war mir dessen nicht mehr sicher, aber bei der Probe (z.B. 9 x 342 = 3078) geht es, weswegen es wohl einer dieser Regeln ist.
21 ist nicht durch 9 teilbar, wohl aber das Quadrat von 21, nämlich 441 (Quersumme = 9) oder auch 21^3 = 9261 (Quersumme = 18). Somit steht fest, dass der erste Summand durch 9 teilbar ist.

39^21 --> 39 ist nicht durch 9 teilbar. Wohl aber das Quadrat = 1521 (Quersumme = 9) oder auch 39^3 = 59319 (Quersumme = 27). Somit ist also auch der zweite Summand durch 9 teilbar.

Werden beide Summanden miteinander addiert, ändert sich dieser Sachverhalt auch nicht. Sind beide Summanden durch 9 teilbar, wird auch die Summe durch 9 teilbar sein.


II. Also abschließend mit uneleganter Lösung:
Beide Summanden sind durch 9 teilbar, da ihre Basen im Quadrat in der Quersumme eine Zahl ergeben, die durch 9 teilbar ist. Miteinander addiert wird auch die Summe durch 9 teilbar sein.
Beide Summanden zusammengerechnet ergeben in der Summe, bedingt durch ihre Einerstellen, eine 0 am Ende, weshalb die Summe durch 5 teilbar ist.

Ist die Summe durch 5 und 9 teilbar, ist sie auch durch 45 teilbar.


Meine Lösung ist etwas zusammengefrickelt, aber ich denke, sie ist irgendwie tragbar. Obwohl ich schon sehr viel Trial and Error gemacht habe (Ohne viel Error allerdings ).

[Volker]

Man zeige, dass die Summe aus 21³⁹ + 39²¹  eine Zahl ergibt, die durch 45 teilbar ist.

45 = 3*3*5

(21³⁹ + 39²¹)
= (3*7)³⁹ + (3*13)²¹
= 3³⁹*7³⁹ + 3²¹*13²¹
= 3²¹ * (3¹⁸*7³⁹ + 13²¹)

Dann muss man "nur" noch zeigen, dass
3¹⁹ * (3¹⁸*7³⁹ + 13²¹)
durch 5 teilbar ist, also dass
3¹⁸*7³⁹ + 13²¹
durch 5 teilbar ist.

[Wuo Long]

Bravo Chuck und Volker. 
Das Rätsel ist damit gelöst.

I. Mein Weg
Ich weiß, dass eine Zahl durch 45 teilbar ist, wenn sie sowohl durch 5 als auch 9 teilbar ist. Nehmen wir hier die 90, die durch 9 und 5 teilbar ist, dann auch durch 45.

Also habe ich geschaut, ob die beiden Summanden durch 9 und 5 teilbar sind.

Dieser Gedankenschritt ist der Wichtigste bei der Aufgabe.

Zuerst 21^39 --> Hier steht fest, dass beim Ergebnis am Ende in jedem Fall eine 1 am Ende stehen wird. Unabhängig vom Exponenten. Die Einerstelle in der Basis ist ja 1 und mit 1 multipliziert kommt immer 1 bei raus.
Jetzt 39^21 --> Hier entsteht eine Regel (ich kenne den Begriff nicht), die sich erschließt, dass bei der Multiplikation von 9 jedes zweite Mal einmal eine 1 und dann wieder eine 9 am Ende stehen wird. (9 x 9 = 81 --> 81 x 9 = 729 --> 729 x 9 = 6561 etc.) Bei einem ungeraden Exponenten steht am Ende der Multiplikation also eine 9.

Die einzige Stelle im Beweis, wo mir der Fachbegriff fehlt. Ich glaube, es hat was mit stetigen Zahlenreihen, beim Fall mit der wechselnden 9 und 1 mit alternierenden Zahlenreihen zu tun. Aber hier bin ich mir nicht sicher. Deine Begründung ist aber so richtig.

Rechne ich jetzt beide Summanden zusammen, wird die letzte Zahl in jedem Fall eine 0 sein (9+1) und ist somit durch 5 teilbar.

Ganz genau

21^39 --> Ist die Quersumme einer Zahl = 9, dann ist die Zahl auch durch 9 teilbar. Ich war mir dessen nicht mehr sicher, aber bei der Probe (z.B. 9 x 342 = 3078) geht es, weswegen es wohl einer dieser Regeln ist.
21 ist nicht durch 9 teilbar, wohl aber das Quadrat von 21, nämlich 441 (Quersumme = 9) oder auch 21^3 = 9261 (Quersumme = 18). Somit steht fest, dass der erste Summand durch 9 teilbar ist.

Beim Potenzieren multiplizierst du die Zahl ja mit sich selbst. Wenn also bei der Primfaktorzerlegung der Basis eine 3 vorkommt, dann ergibt sich beim Potenzieren mit einem Exponenten aus der Menge der natürlichen Zahlen ohne 1 automatisch eine Zahl, die in der Primfaktorzerlegung mindestens eines 3*3 = 9 aufweist. Dieselbe Begründung gilt auch für den anderen Summanden.

Werden beide Summanden miteinander addiert, ändert sich dieser Sachverhalt auch nicht. Sind beide Summanden durch 9 teilbar, wird auch die Summe durch 9 teilbar sein.

Das wäre das Distributiv-Gesetz, wie es Volker in seiner Version vorgeführt hat.

Gruß Wuo Long

[Chuck]

Super! 

Aber eine alles entscheidene Frage habe ich noch: Wie stelle ich Zahlen hoch? Also um Exponenten zu schreiben?

[Wuo Long]

Beim Verfassen von Beiträgen steht in der zweiten Werkzeugleiste, also zwischen der Leiste mit Schriftgröße, bold, kursiv etc. und den Smileys eine Zeile, wo du zwei Buttons findest, wo "sup" steht. Einmal steht das "sup" am oberen Rand, einmal am unteren. Damit kannst du Exponenten und Indizes schreiben.

Gruß Wuo Long

[Chuck]

Ah! ^Danke